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| math:least_squares [2020/11/29 14:09] – 바깥 편집 127.0.0.1 | math:least_squares [2020/11/29 14:27] (현재) – vfinger | ||
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| 줄 11: | 줄 11: | ||
| 어떤 식 $f(x)$와 데이터 $(x_i, y_i)$의 오차의 제곱은 다음과 같다. | 어떤 식 $f(x)$와 데이터 $(x_i, y_i)$의 오차의 제곱은 다음과 같다. | ||
| - | \begin{displaymath} | + | \begin{equation} |
| R_i^2 = [y_i - f(x_i, a_1, a_2, \cdots, a_n)]^2 | R_i^2 = [y_i - f(x_i, a_1, a_2, \cdots, a_n)]^2 | ||
| - | \end{displaymath} | + | \end{equation} |
| 여기서 $f(x_i, a_1, a_2, \cdots, a_n)$란 계수가 $a_1, a_2, \cdots, a_n$인 $x$에 대한 식 $f(x)$에 측정값인 $x_i$을 대입했음을 의미한다. 오차의 제곱의 합은 다음과 같다. | 여기서 $f(x_i, a_1, a_2, \cdots, a_n)$란 계수가 $a_1, a_2, \cdots, a_n$인 $x$에 대한 식 $f(x)$에 측정값인 $x_i$을 대입했음을 의미한다. 오차의 제곱의 합은 다음과 같다. | ||
| - | \begin{displaymath} | + | \begin{equation} |
| R^2 = \sum_{i=1}^n[y_i - f(x_i, a_1, a_2, \cdots, a_n)]^2 | R^2 = \sum_{i=1}^n[y_i - f(x_i, a_1, a_2, \cdots, a_n)]^2 | ||
| - | \end{displaymath} | + | \end{equation} |
| 이 때 $R^2$을 최소로 하는 조건은 | 이 때 $R^2$을 최소로 하는 조건은 | ||
| - | \begin{displaymath} | + | \begin{equation} |
| \frac{\partial(R^2)}{\partial a_i} = 0 | \frac{\partial(R^2)}{\partial a_i} = 0 | ||
| - | \end{displaymath} | + | \end{equation} |
| for $i = 1, | for $i = 1, | ||
| 줄 48: | 줄 48: | ||
| 이를 matrix form으로 다시 쓰면 | 이를 matrix form으로 다시 쓰면 | ||
| - | \begin{displaymath} | + | \begin{equation} |
| \left( \begin{array}{cc} n & \sum_{i=1}^n x_i \\ | \left( \begin{array}{cc} n & \sum_{i=1}^n x_i \\ | ||
| \sum_{i=1}^n x_i & \sum_{i=1}^n x_i^2 \end{array} \right) | \sum_{i=1}^n x_i & \sum_{i=1}^n x_i^2 \end{array} \right) | ||
| 줄 54: | 줄 54: | ||
| = | = | ||
| \left( \begin{array}{c} \sum_{i=1}^n y_i \\ \sum_{i=1}^n x_i y_i \end{array} \right) | \left( \begin{array}{c} \sum_{i=1}^n y_i \\ \sum_{i=1}^n x_i y_i \end{array} \right) | ||
| - | \end{displaymath} | + | \end{equation} |
| 위 식에서 왼쪽 matrix의 inverse를 구하여 양변에 곱해주면 계수 $a$, $b$를 구할 수 있다. 수치 해석에서 matrix의 inverse는 [[http:// | 위 식에서 왼쪽 matrix의 inverse를 구하여 양변에 곱해주면 계수 $a$, $b$를 구할 수 있다. 수치 해석에서 matrix의 inverse는 [[http:// | ||
